Funciones de probabilidad

En este blog aprenderás algunas funciones de probabilidad tales como la función de distribución normal, la función de distribución de Poisson y la función de distribución Binomial.

a) Normalización

Utilizamos la normalización con el fin de llevar nuestra función a una distribución conocida y mas "calculable". El proceso en el cual se calcula la probabilidad en una distribución normal es mediante un proceso llamado integración, la integración se realiza en nuestra función de densidad lo cual para efectos prácticos es mucho mas fácil integrar cuando la función distribuye normal de media 0 y varianza 1.
El proceso de normalización se realiza de la siguiente manera:
Tenemos nuestra muestra que distribuye Normal de media µ y desviación estandar σ

Para llevarlo a una distribución Normal (0,1) basta con restar la media y dividir por la raíz de la varianza

Este proceso nos ayuda a calcular la probabilidad acumulada en una distribución normal independiente de cual sea su media y su varianza pues existen tablas donde se encuentran tabuladas dichas probabilidades y no se depende de un software estadístico para calcularlo.

Se suele denotar 

Veamos un ejemplo:

Tenemos una población X que distribuye normal de media 20 y varianza 100, se desea calcular la probabilidad de que x este entre 15 y 25, es decir:

Como no podemos calcular la probabilidad directamente la separamos en dos probabilidades:

Aun así no es posible calcular las probabilidades pues no tenemos una tabla para la distribución normal de media 20 y varianza 100 por lo cual es necesario llevarlo a una distribución Normal ( 0 , 1 )

Luego reemplazamos los valores dados en el enunciado

Lo cual nos deja

Para encontrar estas probabilidades podemos recurrir a una tabla o a nuestro programa de probabilidades

Lo que nos deja finalmente 

Podemos comprobarlo con nuestro software geométrico

b) Función Binomial de Probabilidad

Evidencia: 
Una base para explicar la distribución binomial es el Modelo de Bernoulli, el cual es más simple, porque solamente comprende el estudio de un experimento.

El modelo de Bernoulli se aplica a variables aleatorias que sólo pueden tener dos resultados o valores, como: hombre o mujer, sano o enfermo, defectuoso o no defectuoso, etc. A uno de los resultados se le llama éxito (E) y al otro fracaso (F) y las probabilidades de que ocurra cada valor se representan por P(E)=p y P(F)=q.  

Llamamos distribución Binomial a la función de probabilidad de una variable aleatoria X: "número de éxitos al repetir n veces una experiencia aleatoria dicotómica con probabilidad de éxito p" y la representamos por B(n,p) donde n y p son los parámetros. Para este tipo de distribución discreta se verifica que: 

• p es la probabilidad de éxito y puede tomar valores entre (0,1]
• q=1-p corresponde a la probabilidad de fracaso.
• la variable x puede tomar los valores: 0, 1, 2, ... , n. 

Análisis:

Características de la Distribución Binomial

La distribución binomial puede considerarse como una generalización del modelo de Bernoulli, en donde el experimento se realiza n veces y se utiliza en experimentos o eventos que tienen las siguientes características:
a) Sólo hay 2 posibles resultados.
b) Los resultados son independientes
c) La probabilidad de éxito permanece constante en todas las veces que se realice el experimento.
d) El experimento se realiza n veces bajo las mismas condiciones y estamos interesados en que hayan x éxitos.
e) Cuando hay extracción de elementos, se debe realizar con reemplazo.
Una variable aleatoria que satisfaga los puntos anteriores, se dice que se distribuye en forma binomial.

Momentos:

1. E(X) = np
2. V(X) = np(1-p)

Demostración:

Escribimos X = X₁+X₂+. . .+X_n donde cada X_i es un ensayo de Bernoulli. 
Luego,

E[X] = E[X₁ + X₂ + . . . + X_n]        
        = E[X₁] + . . . + E[X_n]
        = p + . . . + p        
        = np 

V[X] = V[X₁ + X₂ + . . . + X_n]        
        = V[X₁] + . . . + V[X_n]
        = np(1 − p)


Síntesis: 
Una variable aleatoria X se distribuye de acuerdo con un modelo de probabilidad binomial, si su función de probabilidad es:

    Por lo tanto, si se quiere calcular la probabilidad de tener exactamente x éxitos en n ensayos o intentos, se usa la expresión:

c) Función de Probabilidad de Poisson

Evidencia:

La distribución de Poisson es una de las distribuciones discretas ampliamente utilizada, y puede servir como un modelo para un gran número de experimentos. Por ejemplo, si estamos modelando un experimento en el cual la variable de interés es el número de ocurrencias de cierto evento en un intervalo de tiempo determinado, dicha variable aleatoria puede modelarse usando la distribución de Poisson. Otra área de aplicación es en distribuciones espaciales, donde por ejemplo, la distribución de Poisson puede ser usada para modelar el número de veces que está presente un evento en un espacio determinado.

Análisis:

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc. Por ejemplo:

- n° de errores ortográficos en una página

- n° de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc.

- n° de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc.

- n° de llegadas de embarcaciones a  un puerto por día, mes, etc.

- n° de bacterias en un determinado cultivo.

Momentos:

1. E(X) = λ
2. Var(X) =  λ

Demostración:

Síntesis:

Una variable aleatoria X se distribuye Poisson con parámetro λ, se denota como X ~ P(λ). Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

donde:

λ>0, media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto

e=2.718

X: número de éxitos que se desea que ocurra, x= 0,1,2,3,...

Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

Software Estadístico

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