Evidencia:
Una base para explicar la distribución binomial es el Modelo de Bernoulli, el cual es más simple, porque solamente comprende el estudio de un experimento.
El modelo de Bernoulli se aplica a variables aleatorias que sólo pueden tener dos resultados o valores, como: hombre o mujer, sano o enfermo, defectuoso o no defectuoso, etc. A uno de los resultados se le llama éxito (E) y al otro fracaso (F) y las probabilidades de que ocurra cada valor se representan por P(E)=p y P(F)=q.
Llamamos distribución Binomial a la función de probabilidad de una variable aleatoria X: "número de éxitos al repetir n veces una experiencia aleatoria dicotómica con probabilidad de éxito p" y la representamos por B(n,p) donde n y p son los parámetros. Para este tipo de distribución discreta se verifica que:
Una base para explicar la distribución binomial es el Modelo de Bernoulli, el cual es más simple, porque solamente comprende el estudio de un experimento.
El modelo de Bernoulli se aplica a variables aleatorias que sólo pueden tener dos resultados o valores, como: hombre o mujer, sano o enfermo, defectuoso o no defectuoso, etc. A uno de los resultados se le llama éxito (E) y al otro fracaso (F) y las probabilidades de que ocurra cada valor se representan por P(E)=p y P(F)=q.
Llamamos distribución Binomial a la función de probabilidad de una variable aleatoria X: "número de éxitos al repetir n veces una experiencia aleatoria dicotómica con probabilidad de éxito p" y la representamos por B(n,p) donde n y p son los parámetros. Para este tipo de distribución discreta se verifica que:
- p es la probabilidad de éxito y puede tomar valores entre (0,1]
- q=1-p corresponde a la probabilidad de fracaso.
- la variable x puede tomar los valores: 0, 1, 2, ... , n.
Características de la Distribución Binomial
La distribución binomial puede considerarse como una generalización del modelo de Bernoulli, en donde el experimento se realiza n veces y se utiliza en experimentos o eventos que tienen las siguientes características:
a) Sólo hay 2 posibles resultados.
b) Los resultados son independientes
c) La probabilidad de éxito permanece constante en todas las veces que se realice el experimento.
d) El experimento se realiza n veces bajo las mismas condiciones y estamos interesados en que hayan x éxitos.
e) Cuando hay extracción de elementos, se debe realizar con reemplazo.
Una variable aleatoria que satisfaga los puntos anteriores, se dice que se distribuye en forma binomial.
La distribución binomial puede considerarse como una generalización del modelo de Bernoulli, en donde el experimento se realiza n veces y se utiliza en experimentos o eventos que tienen las siguientes características:
a) Sólo hay 2 posibles resultados.
b) Los resultados son independientes
c) La probabilidad de éxito permanece constante en todas las veces que se realice el experimento.
d) El experimento se realiza n veces bajo las mismas condiciones y estamos interesados en que hayan x éxitos.
e) Cuando hay extracción de elementos, se debe realizar con reemplazo.
Una variable aleatoria que satisfaga los puntos anteriores, se dice que se distribuye en forma binomial.
Momentos:
- E(X) = np
- V(X) = np(1-p)
Demostración:
Escribimos X = X1+X2+. . .+Xn donde
cada Xi es un ensayo de Bernoulli.
Luego,
E[X] = E[X1 + X2 + . . . + Xn]
= E[X1] + . . . + E[Xn]
= p + . . . + p
= np
V[X] = V[X1 + X2 + . . . + Xn]
= V[X1] + . . . + V[Xn]
= np(1 − p)
Síntesis:
Una variable aleatoria X se distribuye de acuerdo con un modelo de probabilidad binomial, si su función de probabilidad es:
Luego,
E[X] = E[X1 + X2 + . . . + Xn]
= E[X1] + . . . + E[Xn]
= p + . . . + p
= np
V[X] = V[X1 + X2 + . . . + Xn]
= V[X1] + . . . + V[Xn]
= np(1 − p)
Síntesis:
Una variable aleatoria X se distribuye de acuerdo con un modelo de probabilidad binomial, si su función de probabilidad es:
Por lo tanto, si se quiere calcular la probabilidad de tener exactamente x éxitos en n ensayos o intentos, se usa la expresión:
Ejemplos:
1) Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.
Solución:
Tenemos los siguientes datos: B(4,0.5) p = 0.5 q = 0.5
2) La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
a)¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?
b)¿Y cómo máximo 2?
a)¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?
b)¿Y cómo máximo 2?
Solución:
Tenemos los siguientes datos: B(4, 0.8) p = 0.8 q = 0.2
a)¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?
Por lo tanto, la probabilidad de que en el grupo hayan leído 2 personas la novela es de 15.36%.
b)¿Y cómo máximo 2?
Por lo tanto, la probabilidad de que como máximo 2 personas hayan leído la novela es de 18.08%.
NOTA!!! Puedes corroborar estos resultados en la sección "Software Estadístico" de nuestro Blog y dejar tus comentarios sobre lo que te pareció o alguna duda y trataremos de responderte lo antes posible :)
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